Question

Find the equation of the points P such that PA² + PB² = 2K², where A and B are the points (3, 4, 5) and (−1, 3, −7) respectively.

Answer 1

Let P = (x,y,z),B = (3,4,5) and B = (-1,3-7).  

Now, 

PB²  = (x +1)²  + (y – 3)²  + (z + 7)²  and  PA² = (x – 3)²  + (y – 4)² + (z – 5)²  

Given that PA²  + PB²  = 2k², 

then  

(x - 3)²  + (y - 4)² +(z - 5)²  + (x + 1)² +(y - 3)² + (z + 7)²  = 2k²

⇒ x²  – 6x + 9 + y²  – 8y + 16 + z²  – 10z + 2² + x²  + 2x +1 + y²  – 6y + 9 + z²  +14z + 49 = 2k. 

⇒ 2x²  + 2y²  + 2z²  – 4x – 14y + 4z + 109 = 2k²  

⇒ 2x²  + 2y²  + 2z²  – 4x  + 4y + 4z = 2k²  -109