Question

Find the absolute maximum value and minimum value of the following functions. 

1. f(x) = 2x³ – 15x² + 36x + 1, x ∈ [1, 5]

2. f(x) = 12x^4/3 – 6x^1/3, x ∈ [-1, 1]

Answer 1

1. Given; 

f(x) = 2x³ – 15x² + 36x + 1, x ∈ [1, 5]

⇒ f'(x) = 6x² – 30x + 36

For turning point f'(x) = 0 ⇒ 6x² – 30x + 36 = 0

⇒ x² – 5x + 6 = 0 ⇒ (x -3)(x – 2) = 0

⇒ x = 3, 2

f(1) = 2(1)³ – 15(1)² + 36(1) + 1 = 24

f(2) = 2(2)³ – 15(2)² + 36(2) + 1 = 29

f(3) = 2(3)³ – 15(3)² + 36(3) + 1 = 28

f(5) = 2(5)³ – 15(5)² + 36(5) + 1 = 56

Absolute maximum = max {24, 29, 28, 56} = 56

Absolute minimum = min {24, 29, 28, 56} = 24

2. Given;

f'(x) = 0 at x = \(\frac{1}{8}\) 18 and f'(x) is not defined at x = 0. 

Therefore;

Absolute maximum = max {18, 0, 6, −\(\frac{9}{4}\)} = 18
Absolute minimum = min {18, 0, 6, −\(\frac{9}{4}\)} = −\(\frac{9}{4}\).