Given expression is
\(^{50}C_4 + \displaystyle\sum_{r=1}^{6} \space^{56-r}C_3\)
\(=\space^{56}C_4+^{55}C_3+^{54}C_3+^{53}C_3+^{52}C_3+^{51}C_3+^{50}C_3\)
Writing the terms in reverse order, we get
=\((^{50}C_4 +^{50}C_3)+^{51}C_3+^{52}C_3+^{53}C_3+^{54}C_3+^{55}C_3\)= \(^{50}C_4+^{51}C_3+^{52}C_3+^{53}C_3+^{54}C_3+^{55}C_3\)
[∴ \(^nC_r+^nC_{r-1}=^{n+1}C_r\)]
= \((^{51}C_4+^{51}C_3)+^{52}C_3+^{53}C_3+^{54}C_3+^{55}C_3\)
= \((^{52}C_4+^{52}C_3)+^{53}C_3+^{54}C_3+^{55}C_3\)
= \((^{53}C_4+^{53}C_3)+^{54}C_3+^{55}C_3\)
= \((^{54}C_4+^{54}C_3)+^{55}C_3\)
= \(^{55}C_4+^{55}C_3\)
= \(^{56}C_4\)