Question

Show that the vectors \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) are coplanar, if

\(\vec{a}+\vec{b},\) and \(\vec{b}+\vec{c}\) and \(\vec{c}+\vec{a}\) are coplanar.

Answer 1

 If part: Let \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) are coplanar

\(\Rightarrow\) Scalar triple product of \(\vec{a},\vec{b}\) and \(\vec{c}\) is zero

[By property of scalar triple product]

Hence \(\vec{a}+\vec{b},\,\vec{b}+\vec{c}\) and \(\vec{c}+\vec{a}\) are coplanar

Only if part: \(\vec{a}+\vec{b},\,\vec{b}+\vec{c},\) \(\vec{c}+\vec{a}\) are coplanar.

Hence, \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) are coplanar.