Question

एक एकसमान बेलन जिसकी लम्बाई L , द्रव्यमान M तथा परिच्छेद क्षेत्रफल A है एक द्रव्यमानहीन स्प्रिंग द्वारा एक स्थिर बिंदु से ऊर्ध्वाधर लटका है यह संतुलन स्थिति में घनत्व p के द्रव में आधा डूबा है जब बेलन को थोड़ा नीचे खींच कर छोड़ दिए जाता है तो वह छोटे आयाम के साथ ऊर्ध्वाधर दोलन करने लगता है यदि स्प्रिंग का बल-नियतांक k हो , तो बेलन की आवृति है
A. `1/(2pi)((k-Apg)/M)^(1/2)`
B. `1/(2pi)((k+Apg)/M)^(1/2)`
C. `1/(2pi)((k+pgL^2)/M)^(1/2)`
D. `1/(2pi)((k+Apg)/(Apg))^(1/2)`

Answer 1

Correct Answer - B
लम्बाई L का बेलन घनत्व p के द्रव में आधा डूबा है अतः बेलन पर उत्क्षेप बल `=A(L//2)pg` . यदि बेलन कि संतुलन स्थिति में स्प्रिंग में विस्तार l हो तब
`kl Mg-A(L//2)p g " " (i)`
जब बेलन को अल्प दूरी y ( माना ) से नीचे को विस्थापित किया जाता है , तब स्प्रिंग में उत्पन्न प्रत्यास्थ प्र्त्यानं बल ` k(l+y)` ही तथा बेलन पर परिणामी बल
`F=-k(l+y)+[Mg-A(L/2+y)pg]`
समीकरण (i) प्रयुक्त करने पर
`F=-Mg+A(L//2)pg-ky+Mg-A(L/2+y)pg`
`=-(K+Apg)y`
बेलन में उत्पन्न त्वरण
`alpha=F/M=-((k+Apg)/M)y=-omega^2y`
जहाँ `omega=sqrt((k+Apg)/M)` स्पष्ट है कि बेलन की गति सरल आवर्त है जिसकी आवृत्ति है :
`n=omega/(2pi)=1/(2pi)sqrt((k+Apg)/M)`