Question

For any \({\rm{\theta }} \in \left( {\frac{{\rm{\pi }}}{4},{\rm{\;}}\frac{{\rm{\pi }}}{2}} \right),\) the expression 3(sin θ – cos θ)⁴ + 6(sin θ + cos θ)² + 4sin⁶ θ equals
1. 13 – 4 cos² θ + 6 sin² θ cos² θ
2. 13 – 4 cos⁶ θ
3. 13 – 4 cos² θ + 6 cos⁴ θ
4. 13 – 4 cos⁴ θ + 2 sin² θ cos² θ

Answer 1

Correct Answer - Option 2 : 13 – 4 cos⁶ θ

The given expression is:

⇒ 3(sin θ – cos θ)⁴ + 6(sin θ + cos θ)² + 4sin⁶ θ

= 3[(sin θ – cos θ)²]² + 6(sin θ + cos θ)² + 4(sin² θ)³

∵ [(a + b)² = a² + b² + 2ab]

∵ [(a – b)² = a² + b² – 2ab]

= 3[sin² θ + cos² θ – 2 sin θ cos θ]² + 6(sin² θ + cos² θ + 2 sin θ cos θ) + 4(1 – cos² θ)³

∵ [(sin² θ + cos² θ = 12 sin θ cos θ = sin 2θ)]

= 3(1 – sin2θ)² + 6(1 + sin 2θ) + 4(1 – cos² θ)³

∵ [(a – b)³ = a³ – b³ – 3ab(a – b)]

= 3[1 + sin² 2θ – 2 sin 2θ] + 6(1 + sin 2θ) + 4(1 – cos⁶ θ – 3 cos² θ)(1 – cos² θ)

= 3[1 + sin² 2θ – 2 sin 2θ] + 6(1 + sin 2θ) + 4(1 – cos⁶ θ – 3 cos² θ + 3 cos⁴ θ)

= 3 + 3 sin² 2θ – 6 sin 2θ + 6 + 6sin 2θ + 4 – 4 cos⁶ θ – 12 cos² θ + 12 cos⁴ θ

= 13 + 3 sin² 2θ – 12 cos² θ + 12 cos 4 θ – 4 cos⁶ θ

= 13 + 3 sin² 2θ + 12 cos² θ(cos² θ – 1) -4 cos⁶ θ

∵ [cos² θ – 1 = sin² θ]

= 13 + 3(sin 2θ × sin 2θ) +12 sin² θ cos² θ – 4 cos⁶ θ

= 13 + 3(2sin θ cos θ × 2sin θ cos θ) +12sin² θ cos² θ – 4 cos⁶ θ

= 13 + 12 sin² θ cos² θ – 12 sin² θ cos² θ – 4 cos⁶ θ

∴ 3(sin θ – cos θ)⁴ + 6(sin θ + cos θ)² +4 sin⁶ θ = 13 – 4 cos⁶ θ

Thus, the correct answer is b.