Question

If \(\rm \left(\vec a\times\vec b\right)\times\vec c=\vec a\times\left(\vec b\times\vec c\right)\), then which of the following is true?

1. \(\rm \vec b\times\left(\vec c\times\vec a\right)=0\)
2. \(\rm \vec a=\vec b=\vec c=0\)
3. \(\rm \vec a+\vec b+\vec c=0\)
4. None of these.

Answer 1

Correct Answer - Option 1 : \(\rm \vec b\times\left(\vec c\times\vec a\right)=0\)

Concept:

For three vectors \(\rm \vec A\), \(\rm \vec B\) and \(\rm \vec C\):

• Triple Cross Product: is defined as: \(\rm \vec A\times\left(\vec B\times\vec C\right)=\left(\vec A.\vec C\right)\vec B-\left(\vec A.\vec B\right)\vec C\)

Calculation:

Given that: \(\rm \left(\vec a\times\vec b\right)\times\vec c=\vec a\times\left(\vec b\times\vec c\right)\)

⇒ \(\rm -\vec c \times\left(\vec a\times\vec b\right)=\vec a\times\left(\vec b\times\vec c\right)\)

⇒ \(\rm -\left(\vec c.\vec b\right)\vec a+\left(\vec c.\vec a\right)\vec b=\left(\vec a.\vec c\right)\vec b-\left(\vec a.\vec b\right)\vec c\)

⇒ \(\rm \left(\vec a.\vec b\right)\vec c-\left(\vec c.\vec b\right)\vec a=0\)

⇒ \(\rm \vec b\times\left(\vec c\times\vec a\right)=0\), which is the required answer.