Question

If cosec θ - sin θ = p³ and sec θ - cos θ = q³, then what is the value of tan θ ?
1. \(\dfrac{p}{q}\)
2. \(\dfrac{q}{p}\)
3. pq
4. p²q²

Answer 1

Correct Answer - Option 2 : \(\dfrac{q}{p}\)

Given :

cosec θ - sin θ = p3 and sec θ - cos θ = q³

Concept used :

1 - sin2 θ = cos² θ 

1 - cos2 θ = sin² θ 

Calculations :

cosec θ - sin θ = 1/(sin θ) - sin θ 

⇒ (1 - sin² θ)/sin θ 

⇒  (cos² θ)/(sin θ)

So, 

(cos² θ)/(sin θ) = p³      ....(1) 

Now 

sec θ - cos θ = (1/cos θ) - cos θ 

⇒ (1 - cos² θ)/cos θ 

⇒  (sin² θ)/(cos θ)

So, 

(sin² θ)/(cos θ) = q³      ....(2) 

Divide equation (2) by (1) 

(sin² θ)/(cos θ) ÷ (cos² θ)/(sin θ) = q³/p³ 

⇒ sin³ θ/cos³ θ = q³/p³ 

⇒ tan θ = q/p 

∴ Option 2 is the correct answer.