Question

If sin θ + cos θ = √2, then what is sin⁶ θ + cos⁶ θ + 6 sin² θ cos² θ equal to?
1. \(\frac{1}{{4}}\)
2. \(\frac{3}{{4}}\)
3. 1
4. \(\frac{7}{{4}}\)

Answer 1

Correct Answer - Option 4 : \(\frac{7}{{4}}\)

Given                       

sin θ + cos θ = √2

Formula used :

sin² θ + cos² θ = 1 

(x + y)³ = x³ + y³ + 3.x.y(x + y) 

Calculations :

(cos² θ + sin² θ)³ = cos⁶ θ + sin⁶ θ + 3.sin² θ.cos² θ(cos² θ + sin² θ) 

⇒ cos⁶ θ + sin⁶ θ + 3.sin² θ.cos² θ(cos² θ + sin² θ) = 1³ = 1 

⇒  sin6 θ + cos6 θ + 3 sin2 θ cos2 θ = 1

Now, 

sin θ + cos θ = √2 

Squarring both the sides 

Sin² θ + cos² θ + 2 sin θ cos θ = 2 

⇒ 2 sin θ cos θ = 1 

⇒ sin θ cos θ = 1/2 

⇒ sin² θ cos² θ = 1/4 

⇒ 3 sin2 θ cos2 θ  = 3/4 

Now,

sin6 θ + cos6 θ + 6 sin2 θ cos2 θ = sin6 θ + cos6 θ + 3 sin2 θ cos2 θ + 3 sin2 θ cos2 θ  

⇒ 1 + (3/4) 

⇒ 7/4 

∴ Option 4 is the correct answer.