Question

How many distinct positive integer-valued solutions exist to the equation

(x2 - 7x + 11)(x2- 13x + 42) = 1?

1. 4
2. 6
3. 8
4. 2

Answer 1

Correct Answer - Option 2 : 6

Calculation:

Consider aⁿ,

If a ≠ + 1, if a ≠ -1  and a ≠ 0

Then, aⁿ is always 1

When, n = 0      ----(1)

If a = 1, aⁿ is always 1      ----(2)

If a = -1, n should be even for an to be 1      ----(3)

According to the question:

(x2 - 7x + 11)(x²- 13x + 42)

⇒ (x² – 13x + 42) = 0

⇒ (x2 – 6x – 7x  + 42) = 0

⇒ x(x – 6) – 7(x – 6) = 0

⇒ (x – 6)(x – 7) = 0

⇒ x = 6 or x = 7

If x = 6,

(x2 – 7x + 11)

⇒ 6² – 7 × 6 + 11 ≠ 0

⇒ 1 ≠ 0

x = 6, is one solution

If x = 7,

(x2 – 7x + 11)

⇒ 72 – 7 × 7 + 11 ≠ 0

⇒ 11 ≠ 0

x = 7, is one solution

Again,

If (x2 – 7x + 11) = 1

⇒ (x2 – 7x + 10) = 0

⇒ (x – 2)(x – 5) = 0

⇒ x = 2 or x = 5 are another 2 solutions

If (x2 – 7x + 11) = -1

⇒ (x2 – 7x + 12) = 0

⇒ (x – 3)(x – 4) = 0

⇒ x = 3 or x = 4,

If x = 3, (x2 – 13x + 42)

⇒ 32 – 13 × 3 + 42 = 12, which is even

x = 3, is one solution

If x = 4, (x2 – 13x + 42)

⇒ 42 – 13 × 4 + 42 = 6, which is even

x = 4, is one solution

Now,

x = 2, 3, 4, 5, 6, and 7

∴ There are 6 distinct positive integer-valued solutions exist to the equation.