Question

If \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) are three vectors such that \(\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c}=0\) and \(|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=3, |\vec{c}|=5\) then the value of \(\vec{a} \ \bullet \ \vec{b} + \vec{b} \ \bullet \ \vec{c} + \vec{c} \ \bullet \ \vec{a}\) is:

Answer 1

Correct Answer - Option 3 : -19

Concept:

\(|\vec {a}+\vec {b}+\vec {c}|^2=(\vec {a}+\vec {b}+\vec {c}).(\vec {a}+\vec {b}+\vec {c})\)

Calculation:

Given:

\(|\vec a|=2, |\vec b|=3, |\vec c|=5\)

As  \(\vec {a}+\vec {b}+\vec {c}=0\)

∴\(|\vec {a}+\vec {b}+\vec {c}|=0\)

\(|\vec {a}+\vec {b}+\vec {c}|^2=(\vec {a}+\vec {b}+\vec {c}).(\vec {a}+\vec {b}+\vec {c})=0\)

\(\vec a.\vec a+\vec b.\vec b+\vec c.\vec c+\vec a.\vec b+\vec b.\vec a+\vec b.\vec c+\vec c.\vec b+\vec c.\vec a+\vec a.\vec c=0\)

\(\vec a.\vec a+\vec b.\vec b+\vec c.\vec c+2\vec a.\vec b+2\vec b.\vec c+2\vec c.\vec a=0\)

\(\vec a.\vec a+\vec b.\vec b+\vec c.\vec c+2(\vec a.\vec b+\vec b.\vec c+\vec c.\vec a)=0\)

\(|\vec a|^2+|\vec b|^2+|\vec c|^2+2(\vec a.\vec b+ \vec b.\vec c+\vec c.\vec a)=0\)

\(2^2+3^2 +5^2+2(\vec a.\vec b+ \vec b.\vec c+\vec c.\vec a)=0\)

\(2(\vec a.\vec b+ \vec b.\vec c+\vec c.\vec a)=-38\)

Hence \(\vec a.\vec b+ \vec b.\vec c+\vec c.\vec a=-19\)