a + b + c = 4 ... (1)
⇒ a2 + b2 + c2 = 10 ... (2)
⇒ a3 + b3 + c3 = 22 ... (3)
Sq. both sides in (1) we get
⇒ (a + b + c)2 = (4)2
⇒ a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac) = 16
⇒ 10 + 2(ab + bc + ac) = 16 (From 2)
⇒ 2(ab + bc + ac) = 6
⇒ (ab + bc + ac) = 3 ... (4)
Consider the identity,
a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 - {ab + bc + ac})
⇒ 22 - 3abc = 4(10 - 3) ... (From 1,2,3,4)
⇒ 22 - 3abc = 28
⇒ -3abc = 6
⇒ abc = -2 ... (5)
Sq. both sides in (4), we get
⇒ (ab + bc + ac)2 = (3)2
⇒ (ab)2 + (bc)2 + (ac)2 + 2b2ac + 2c2ab + 2a2bc = 9
⇒ (ab)2 + (bc)2 + (ac)2 + 2abc(a + b + c) = 9
⇒ (ab)2 + (bc)2 + (ac)2 + 2(-2)(4) = 9 ... (From 5, 1)
⇒ (ab)2 + (bc)2 + (ac)2 - 16 = 9
⇒ (ab)2 + (bc)2 + (ac)2 = 25 ... (6)
Sq. both sides in (2) we get
⇒ (a2 + b2 + c2)2 = (10)2
⇒ a4 + b4 + c4 + 2{(ab)2 + (bc)2 + (ac)2} = 100
⇒ a4 + b4 + c4 + 2(25) = 100 ... (From 6)
⇒ a4 + b4 + c4 + 50 = 100
∴ a4 + b4 + c4 = 50