दिया है,
एक त्रिभुज ABC जिसमें PQ रेखा QB और AC को क्रमशः P और Q बिन्दुओं पर काटती है। दिया हुआ है कि
\(\frac{A P}{P B}=\frac{A Q}{Q C}\)
सिद्ध करना है: PQ || BC.
प्रमाण: P से PL, BC के समांतर खींचा जो AC से L बिन्दु पर मिलता है।
अब \(\because\) PL || BC
\(\therefore\) साध्य से, \(\frac {AP}{PB} = \frac {AL}{LC}\)
लेकिन दिया हुआ है कि \(\frac {AP}{PB} = \frac {AQ}{QC}\)
\(\therefore \frac {AQ}{QC} = \frac {AL}{LC}\)
या, \(\frac{A Q}{Q C}+1=\frac{A L}{L C}+1; \) दोनों तरफ 1 जोड़ने से
या, \(\frac{A Q+Q C}{Q C}=\frac{A L+L C}{L C}\) या, \(\frac{A C}{Q C}=\frac{A C}{L C}\)
\(\therefore\) QC = LC अर्थात् CQ = CL
अतः Q और L कोई दो भिन्न बिन्दु नहीं है; बल्कि एक ही बिन्दु है। अर्थात् L बिन्दु Q से मिल (coincide) जाता है और इसलिए PL, PQ से। लेकिन PL || BC.
\(\therefore\) PQ || BC; यही सिद्ध करना था।
