दिया है,
एक त्रिभुज ABC जिसमें \(\mathrm{PQ}\) रेखा \(\mathrm{AB}\) और \(\mathrm{AC}\) को क्रमशः \(\mathrm{P}\) और Q बिन्दुओं पर काटती है। दिया हुआ है कि \(\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}}=\frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{QC}}\)
सिद्ध करना है : \(\mathrm{PQ} \| \mathrm{BC}\)
प्रमाण : \(\mathrm{P}\) से PL,BC के समांतर खींचा जो AC से L बिन्दु पर मिलता है।
\(\therefore\) साध्य से, \(\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}}=\frac{\mathrm{AL}}{\mathrm{LC}}\)
लेकिन दिया हुआ है कि
\(\frac{A P}{P B} =\frac{A Q}{Q C}\)
\(\therefore \frac{A Q}{Q C} =\frac{A L}{L C}\)
या, \(\frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{QC}}+1=\frac{\mathrm{AL}}{\mathrm{LC}}+1\); दोनों तरफ 1 जोड़ने से
या, \(\frac{\mathrm{AQ}+\mathrm{QC}}{\mathrm{QC}}=\frac{\mathrm{AL}+\mathrm{LC}}{\mathrm{LC}}\) या, \(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{QC}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{LC}}\)
\(\therefore \mathrm{QC}=\mathrm{LC}\) अर्थात् \(\mathrm{CQ}=\mathrm{CL}\)
अतः Q और L कोई दो भिन्न बिन्दु नहीं है; बल्कि एक ही बिन्दु है। अर्थात् L बिन्दु Q से मिल जाता है और इसलिए PL,PQ से।
लेकिन \(\mathrm{PL}\|\mathrm{BC} \)
\(\therefore \mathrm{PQ}\| \mathrm{BC}\) Proved.
