Question

निम्नलिखित फलनों की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए : 

(i) f (x) = x² द्वारा प्रदत्त f : N → N फलन है। 

(ii) f (x) = x² द्वारा प्रदत्त f : Z → Z फलन है। 

(iii) f (x) = x² द्वारा प्रदत्त f : R → R फलन है। 

(iv) f (x) = x³ द्वारा प्रदत्त f : N → N फलन है। 

(v) f (x) = x³ द्वारा प्रदत्त f : Z → Z फलन है।

Answer 1

(i) दिया है, f ( x ) = x² और f : N → N

(a) f( x₁) = f(x₂) ⇒x¹₂

⇒ x₁ = x₂ , 

⇒ x₁ = x₂ ∈ N 

f एकैकी है। 

(b) परन्तु सहप्रान्त में ऐसे कुछ अवयव हैं जो प्रान्त के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं हैं। 

उदाहरणार्थ : 

माना 3 सहप्रान्त में है तो 3 प्रान्त के किसी भी अवयव को प्रतिबिम्ब नहीं होगा। 

∴ f आच्छादक नहीं है। 

अत: f एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं है। 

(ii) f(x) = x² f : Z → Z , जबकि f (x) = x² 

(a) f (-1) = f (1) = 1 ⇒ -1 और 1 का प्रतिबिम्ब 1 है। 

∵ प्रान्त के दो भिन्न-भिन्न अवयवों -1 और 1 का परिसर R में एक ही f-प्रतिबिम्ब 1 पर है। 

∵ प्रतिबिम्ब समान है। 

∴ f एकैकी नहीं है। 

(b) सहप्रान्त में ऐसे अवयव हैं जो प्रान्त के किसी अवयव में प्रतिबिम्ब नहीं हैं। उदाहरणार्थ-3 

सहप्रान्त में है, परन्तु 3 प्रान्त के किसी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है। 

∴ f आच्छादक नहीं है। अत: f न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है। 

(iii) f : R → R, यदि f(x) = x² 

(a) (-1)² = (1)² = f (-1) = f(1) 

अतः 

-1 और 1 का प्रतिबिम्ब 1 है। अर्थात् प्रान्त के दो भिन्न-भिन्न अवयवों -1 और 1 का परिसर R में एक ही f- प्रतिबिम्ब 1 है। अर्थात् प्रतिबिम्ब समान है, ∴ f एकैकी नहीं है। 

(b) 

-2 सहप्रान्त में है परन्तु यह प्रान्त के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है। 

अत: f आच्छादक नहीं है। 

∴ f न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।