Question

If cos^-1x + cos^-1y + cos^-1z = π, the find the value of x² + y² + z² + 2xyz.

Answer 1

We have cos^-1x + cos^-1y + cos^-1z = π

⇒ cos^-1x + cos^-1y = π - cos^-1z

⇒ cos^-1x +cos^-1y = cos^-1(-z)

⇒ cos^-1(xy - √(1 - x²)√(1 - y²)) = cos(-z)

⇒ (xy + z)² = (1 - x²)(1 - y²)

⇒ x²y² + 2xyz + z² = 1 - x² - y² +x²y²

⇒ x² + y² + z² + 2xyz = 1