Question

Obtain the Cartesian form of the locus of z = x + iy in each of the following cases: 

(i) [Re(iz)]² = 3 

(ii) Im[(1 – i)z + 1] = 0 

(iii) |z + i| = |z – 1| 

(iv) z bar = z^-1

Answer 1

(i) z = x + iy 

[Re(iz)]² = 3 

⇒ [Re[i(x + iy]]² = 3 

⇒ [Re(ix – y)]² = 3

⇒ (-y)² = 3 

⇒ y² = 3

(ii) Im[(1 – i)z + 1] = 0 

⇒ Im [(1 – i)(z + iy) + 1] = 0 

⇒ Im[x + iy – ix + y + 1] = 0 

⇒ Im[(x + y + 1) + i(y – x)] = 0 

Considering only the imaginary part 

y – x = 0 ⇒ x = y

(iii) |z + i| = |z – 1| 

⇒ |x + iy + i| = | x + iy – 1| 

⇒ |x + i(y + 1)| = |(x – 1) + iy|

Squaring on both sides 

|x + i(y + 1)|² = |(x – 1) + iy|² 

⇒ x² + (y + 1)² = (x – 1)² + y² 

⇒ x² + y² + 2y + 1 = x² – 2x + 1 + y² 

⇒ 2y + 2x = 0 

⇒ x + y = 0

(iv) z bar = z^-1

⇒ |z|² = 1 

⇒ |x + iy|² = 1 

⇒ x² + y² = 1