(i) z = x + iy
[Re(iz)]2 = 3
⇒ [Re[i(x + iy]]2 = 3
⇒ [Re(ix – y)]2 = 3
⇒ (-y)2 = 3
⇒ y2 = 3
(ii) Im[(1 – i)z + 1] = 0
⇒ Im [(1 – i)(z + iy) + 1] = 0
⇒ Im[x + iy – ix + y + 1] = 0
⇒ Im[(x + y + 1) + i(y – x)] = 0
Considering only the imaginary part
y – x = 0 ⇒ x = y
(iii) |z + i| = |z – 1|
⇒ |x + iy + i| = | x + iy – 1|
⇒ |x + i(y + 1)| = |(x – 1) + iy|
Squaring on both sides
|x + i(y + 1)|2 = |(x – 1) + iy|2
⇒ x2 + (y + 1)2 = (x – 1)2 + y2
⇒ x2 + y2 + 2y + 1 = x2 – 2x + 1 + y2
⇒ 2y + 2x = 0
⇒ x + y = 0
(iv) z bar = z-1
⇒ |z|2 = 1
⇒ |x + iy|2 = 1
⇒ x2 + y2 = 1