(i) X ∪ Y = {x | x ∈ X or x ∈ Y}
Thus x ∈ Y ⇒ x ∈ X ∪ Y
Hence, Y ⊂ X ∪ Y
(ii) X ∩ Y = {x | x ∈ X and x ∈ Y}
Thus x ∈ X ∩ Y ⇒ x ∈ X
Hence X ∩ Y ⊂ X
(iii) Note that
x ∈ X ∩ Y ⇒ x ∈ X
Thus X ∩ Y ⊂ X
Also, since X ⊂ Y,
x ∈ X ⇒ x ∈ Y ⇒ x ∈ X ∩ Y
so that X ⊂ X ∩ Y
Hence the result X = X ∩ Y follows.