Question

In an isosceles ΔABC, AB = AC and BD ⊥ AC. Prove that BD² - CD² = 2CD AD.

Answer 1

Given: AB = AC and BD  AC

To Prove: BD² – CD² = 2CD × AD

In ∆BDC, using Pythagoras theorem we have,

(Perpendicular)² + (Base)² = (Hypotenuse)²

⇒ (BD)² + (CD)² = (BC)² …(i)

In ∆BDA, using Pythagoras theorem we have,

(Perpendicular)² + (Base)² = (Hypotenuse)²

⇒ (BD)² + (AD)² = (AB)²

⇒ (BD)² + (AD)² = (AC)² [∵ AB = AC]

Multiply this eq. by 2, we get

⇒ 2(BD)² + 2(AD)² = 2(AC)² …(ii)

Subtracting Eq. (ii) from (i), we get

⇒ CD² – BD² = BC² – 2 AC² + 2 AD²

= BC² – 2 (AD +CD)² + 2 AD²

= BC² – 2 CD² – 4 AD × CD

= BD² + CD² – 2 CD² – 4 AD × CD

= BD² – CD² – 4 AD × CD

⇒ CD² – BD² –BD² +CD² = –4AD × CD

⇒ –2(BD² – CD²) = –4AD × CD

⇒ BD² – CD² = 2CD × AD

Hence Proved