For positive real numbers, x, y applying AM > GM, we have
\(\frac{x+y}{2}\) > \(\sqrt{xy}\)
⇒ \(\frac12\) > \(\sqrt{xy}\) (∵ x + y = 1)
⇒ 1 ≥ 2\(\sqrt{xy}\) ⇒ 1 > 4xy ⇒ 2 > 8xy ⇒ 1 + 1 > 8xy
⇒ 1 + \(x\) + y > 8xy ⇒ 1 + \(x\) + y + xy > 9xy ⇒ (1 + \(x\)) (1 + y) > 9xy
⇒ \(\frac{(1+x)(1+y)}{xy}\) > 9 ⇒ \(\big(\frac{x+1}{x}\big)\big(\frac{y+1}{y}\big)\) > 9 ⇒ \(\big(1+\frac1x\big)\big(1+\frac1y\big)\) > 9