Question

For positive real numbers x, y, z, prove that 2 (x³ + y³ + z³) ≥ xy (x + y) + yz (y + z) + zx (z + x)

Answer 1

For positive real numbers x, y, z, we have AM > GM 

⇒ \(\frac{x^2+y^2}{2}\) > (x² . y²)^\(\frac12\) ⇒ x² + y² > 2xy 

⇒ x² + y² – xy > xy              [∵ x > y ⇒ x + a > y + a ∀ a ∈ R] 

⇒ (x + y) (x² + y² – xy) > xy (x + y)           [∵ x > y ⇒ ax > ay ∀ a > 0] 

⇒ (x³ + y³) > xy (x + y)            …(i) 

Similarly, we can show that, 

y³ + z³ > y^z (y + z)                …(ii) 

and z³ + x³ > zx (z + x)        …(iii) 

Adding (i), (ii) and (iii), we have 

⇒ x³ + y³ + y³ + z³ + z³ + x³ > xy (x + y) + yz (y + z) + zx (z + x) 

⇒ 2 (x³ + y³ + z³) > xy (x + y) + yz (y + z) + zx (z + x)