Question

The set of all real numbers x, for which x² – |x + 2| + x > 0, is

(a) (– ∞, – 2) ∪ (2, ∞) 

(b) (√2, ∞)

(c) (– ∞, – 1) ∪ (1, ∞) 

(d) (– ∞ , - √2) ∪ (√2, ∞)

Answer 1

(d) (−∞ , -√2) ∪ ( √2, ∞)

Case I: When \(x\) + 2 > 0, then \(x\) > – 2 

⇒ |\(x\) + 2| = \(x\) + 2 

∴ x² – |\(x\) + 2| + \(x\) > 0 = x² – (\(x\) + 2) + \(x\) > 0 

⇒ x² – 2 > 0 ⇒ x² > 2 

⇒ \(x\) < -√2 or 2 \(x\) > √2

⇒ x∈ (– 2, − √2 ) ∪ ( 2 , ∞)                [∵ \(x\) ≥ − 2]          …(i) 

Case II: When \(x\) + 2 < 0, then \(x\) < – 2 

⇒ |\(x\) + 2| = – (\(x\) + 2) 

∴ x² – |\(x\) + 2| + \(x\) > 0 ⇒ x² + (\(x\) + 2) + \(x\) > 0 

⇒ x² + 2x + 2 > 0 ⇒ (x² + 2x + 1) + 1 > 0 

⇒ (x + 1)² + 1 > 0, which is true for all value of x. 

∴ \(x\) < – 2 ⇒ \(x\)∈ (– ∞, – 2)                …(ii) 

From (i) and (ii) 

\(x\)∈ (– 2, −√2) ∪ ( √2, ∞ ) ∪ (– ∞, – 2) 

⇒ \(x\)∈ (−∞ , −√2) ∪ ( √2, ∞)