Question

If x, y, z are positive real numbers, then (x² + y² + z²) ≥

(a) xyz 

(b) x³ + y³ + z³ 

(c) xy + yz + zx 

(d) x + y + z

Answer 1

(c) xy + yz + zx

Since x > 0, y > 0, z > 0, therefore 

(x – y)² > 0, (y – z)² > 0, (z – x)² > 0 

⇒ x² + y² – 2xy > 0 

y² + z² – 2yz > 0 

z² + x² – 2zx > 0 

⇒ x² + y² > 2xy, y² + z² > 2yz, z² + x² > 2zx 

⇒ x² + y² + y² + z² + z² + x² > 2xy + 2yz + 2zx 

⇒ 2(x² + y² + z²) > 2(xy + yz + zx) 

⇒ x² + y² + z² > xy + yz + zx.