Question

If a, b, c, d are four distinct positive real numbers and if 3s = a + b + c + d, then

(a) abcd > 81 (s – a) (s – b) (s – c) (s – d)

(b) abcd < 9 (s – a) (s – b) (s – c) (s – d)

(c) abcd < 18 (s – a) (s – b) (s – c) (s – d)

(d) abcd < 27 (s – a) (s – b) (s – c) (s – d)

Answer 1

(a) abcd > 81(s – a) (s – b) (s – c) (s – d)

3s = a + b + c + d ⇒ 3s – b – c – d = a 

⇒ a = (s – b) + (s – c) + (s – d) 

For distinct positive real numbers AM > GM

⇒ \(\frac13\)[(s – b) + (s – c) + (s – d)]> {(s – b) + (s – c) + (s – d)}^\(\frac13\)

⇒ (s – b) + (s – c) + (s – d) > 3 {(s – b) + (s – c) + (s – d)}^\(\frac13\)

⇒ a > 3 {(s – b) + (s – c) + (s – d)}^\(\frac13\)               ....(i)

Similarly,  b > 3 {(s – a) + (s – c) + (s – d)}^\(\frac13\)               ....(ii)

 c > 3 {(s – a) + (s – b) + (s – d)}^\(\frac13\)               ....(iii)

 a > 3 {(s – a) + (s – b) + (s – c)}^\(\frac13\)               ....(iv)

∴ (i) × (ii) × (iii) × (iv)

⇒ abcd > 81{(s - a)³ (s – b)³ (s – c)³ (s – d)³}^\(\frac13\)

⇒ abcd > 81(s – a) (s – b) (s – c) (s – d).