Question

Evaluate: 

cos 2 (θ + ϕ) + 4 cos (θ + ϕ) sin q sin f + 2 sin² ϕ

(a) sin 2θ 

(b) cos 2θ 

(c) sin 3θ 

(d) cos 3θ

Answer 1

(b) cos 2θ

cos 2 (θ + ϕ) + 4 cos (θ + ϕ) sin θ sin ϕ + 2sin²ϕ 

= {cos 2θ cos 2ϕ – sin 2θ sin 2ϕ} + 4 {(cos θ cos ϕ – sin θ sin ϕ) sin θ sin ϕ} + 2 sin²ϕ 

= {(1 – 2 sin² θ) (1 – 2 sin²ϕ) – 2 sin θ cos θ . 2 sin ϕ cos ϕ} + [4 cos θ cos ϕ sin θ sin ϕ – 4 sin²θ sin²ϕ] + 2 sin²ϕ 

= 1 – 2 sin² θ – 2 sin²ϕ + 4 sin²θ sin2 ϕ – 4 sin θ sin ϕ cos θ cos ϕ + 4 cos θ cos ϕ sin θ sin φ – 4 sin²θ sin²ϕ + 2 sin²ϕ 

= 1 – 2 sin²θ = cos 2θ.