Question

Prove that: 

cos²A + cos²B – 2 cosA cosB cos(A +B) = sin²(A +B)

Answer 1

LHS = cos²A + cos²B – 2 cosA cosB cos(A +B) 

= cos²A + 1 – sin²B - 2 cosA cosB cos(A +B) 

= 1 + cos²A – sin²B - 2 cosA cosB cos(A +B) 

We know that cos²A – sin²B = cos(A +B) cos(A –B) 

= 1 + cos(A +B) cos(A –B) - 2 cosA cosB cos(A +B) 

= 1 + cos(A +B) [cos(A –B) – 2 cosA cosB] 

We know that cos(A -B) = cosA cosB + sinA sinB. 

= 1 + cos(A +B) [cosA cosB + sinA sinB – 2 cosA cosB] 

= 1 + cos(A +B) [-cosA cosB + sinA sinB] 

= 1 - cos(A +B) [cosA cosB - sinA sinB] 

We know that cos(A +B) = cosA cosB - sinA sinB. 

= 1 – cos²(A +B) 

= sin²(A +B) = RHS

Hence proved.