Question

सिद्ध कीजिए कि `lim_(theta to 0)(sin theta)/(theta)=1`

Answer 1

माना OA भ्रामक रेखा की आदि स्थिति है माना यह वामावर्त दिशा में (anticlockwise deirection ) घूमकर OB की स्थिति में अति है जबकि `angle AOB=theta, OB ` पर लम्ब AC डालिये। अतः `DeltaOAC` में
`sin theta=(AC)/(OA)` तथा `theta=("चाप")/("त्रिज्या")=("चाप"AB)/(OA)`
`therefore(sin theta)/(theta)=(AC)/(OA)div ("चाप"AB)/(OA)=(AC)/(OA)xx(OA)/(""चाप"AB)`
या `(sin theta)/(theta)=(AC)/("चाप"AB)`
जैसे-जैसे कोण `theta ` घटता है वैसे-वैसे AC तथा चाप AB के बीच का अन्तर भी घटता है, अन्त में AC तथा चाप चाप AB अभिन्न हो जाते है। फलस्वरूप इसके बीच अन्तर किसी भी अल्प राशि से भी कम हो जाता है।
`therefore underset(theta to 0)lim (sin theta)/(theta)=(AC)/("चाप"AB)=(AC)/(AC)=1`
`thereforeunderset(thetato0)lim (sin theta)/(theta)=1`