Question

माना ` f ( x ) = {{:( x ^(2) + ax + b",",, "यदि " 0 le x lt 2 ), ( 3x + 2",",, "यदि " 2 le x le 4 ), ( 2ax + 5b",",,"यदि " 4 lt x le 8 ):} `
यदि फलन ` f ( x ) `, अन्तराल `[0, 8] ` में सतत है, तो ` a` व `b ` के मान ज्ञात कीजिये |

Answer 1

` because ` दिया गया फलन, अन्तराल `[0 , 8] ` में सतत है इसलिए यह अन्तराल `[0, 2[, ] 2, 4 [ ` व `] 4, 8[` में भी सतत होगा|
` rArr f ( x ) , x = 0 ` पर सतत होगा |
` rArr lim _ ( x to 0 ^(+)) f ( x ) = f ( 0 ) `
` rArr lim _ ( x to 0 ^(+)) ( x ^(2) + ax + b ) = 0 ^(2) + a xx 0 + b = b `
` rArr ` यह a व b के मान नहीं देता |
अब ` f ( x ), x = 2 ` पर भी सतत है, इसलिए
` = lim _ ( x to 2^-) f (x) = lim _ ( xto 2 ^+) f( x) = f ( 2 ) `
` rArr lim _ ( x to 2^-) ( x ^(2) + ax + b ) = lim _ ( xto 2^+) ( 3x + 2 ) = 3xx 2 + 2 `
` rArr 4 + 2a + b = 3xx 2 +2 `
` rArr 2a + b = 4 `...(1)
इसी प्रकार `f ( x ) ` बिंदु, ` x = 4 ` पर भी सतत है |
` rArr lim _ ( x to 4 ^+) f ( x) = lim _( x to 4 ^-) f ( x ) = f ( 4 ) `
` rArr lim _ ( x to 4 ^+) ( 2ax + 5 b ) = lim _ ( x to 4 ^-) ( 3x + 2 ) = 3 xx 4 + 2 `
` rArr 8a + 5 b = 12 + 2 `
` rArr 8 a + 5b = 14` ... (2)
समीकरण (1 ) व (2 ) को हल करने पर
` a = 3, b = - 2 `