Question

माना कि N सभी प्राकृत संख्याओं का सम्मुच्य हैं तथा `N xx N` पर सम्बन्ध R,(a,b) R (c,d) यदि और केवल यदि ad(b+c) = bc(a+d) द्वारा परिभाषित हैं| जाँच करें कि क्या R,`N xx N` पर एकतुल्यता सम्बन्ध हैं?

Answer 1

माना कि (a,b), (c,d), (e,f) `int N xx N`
(i) स्वतुल्य चूँकि `ab(b+a)=ba(a+b)`, सभी `a,b int N` के लिए
`(therefore ab=ba` तथा `b+a=a+b)`
`therefore (a,b) R (a,b) rArr R` स्वतुल्य हैं|
(ii) सम्मित माना कि (a,b)R(c,d) `rArr ad(b+c) = bc(a+d)`
`rArr bc(a+d) = ad(b+c)`
`rArr cd(d+a) = da(c+b)`
`rArr (c,d) R (a,b)`
इस प्रकार, `(a,b) R (c,d) rArr (c,d) R (a,b)`
अतः R सम्मित हैं|
(iii) संक्रामक माना कि `(a,b) R (c,d)` तथा `(c,d) R (e,f)`
`rArr ad(b+c) = bc(a+d)` तथा `cf(d+e) = de(c+f)`
`rArr (b+c)/(bc) = (a+d)/(ad)` तथा `(d+e)/(de) = (c+f)/(cf)`
`rArr 1/c + 1/b = 1/d + 1/a` तथा `1/e + 1/d = 1/f + 1/c`
`rArr 1/c + 1/b + 1/e + 1/d = 1/d + 1/a + 1/a + 1/f + 1/c`
`rArr 1/b + 1/e = 1/a + 1/f rArr (b+c)/(be) = (a+f)/(af)`
`rArr af(b+e) = be(a+f) rArr (a,b) R(e,f)`
इस प्रकार `(a,b)R(c,d)` तथा `(c,d)R(e,f) rArr (a,b) R (e,f)`
अतः R संक्रामक हैं
इस प्रकार सम्बन्ध R, स्वतुल्य सम्मित तथा संक्रामक हैं| अतः `R,N xx N` पर एक तुल्यता सम्बन्ध हैं|