Question

यदि Q परिमेय संख्याओं का सम्मुच्य हैं तथा Q पर एक सम्बन्ध R,
`xRy ltimplies |x-y| le 1/2` द्वारा परिभाषित हैं, तो साबित करें कि R, एक तुल्यता सम्बन्ध नहीं हैं|

Answer 1

(i) `|x-x|=0 le 1/2, AA x int Q`
`therefore x R x` अर्थात R,Q पर स्वतुल्य सम्बन्ध हैं|
(ii) xRy `rArr |x-y| le 1/2`
`rArr |y-x| le 1/2 [therefore |y-x|=|x-y|]`
`rArr yRx`
`therefore R,Q` पर सम्मित हैं|
(iii) माना कि `x=1/4, y=3/4, z=1`, तो
`|x-y|=|1/4-3/5|=7/20 le 1/2`,
`|y-z|=|3/5-1|=2/5 le 1/2`
`|x-z|=|1/4-1|=3/4 cancel(le) 1/2`
`therefore 1/4 R 3/5` तथा `3/5 R 1` लेकिन `1/4, 1` से सम्बन्ध R द्वारा सम्बन्धित नहीं हैं| अतः R संक्रामक नहीं हैं|
इस प्रकार R,Q पर तुल्यता सम्बन्ध नहीं हैं|