Question

साबित करे कि
`|{:(1,a,a^(3)),(1,b,b^(3)),(1,c,c^(3)):}|=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b +c)`

Answer 1

माना कि `Delta=|{:(1,a,a^(3)),(1,b,b^(3)),(1,c,c^(3)):}|` तो, `Delta=|{:(1,a,a^(3)),(0,b-a,b^(3)-a^(3)),(0,c-a,c^(3)-a^(3)):}|" "[R_(1)toR_(2)-R_(1)" तथा "R_(3)toR_(3)-R_(1)]`
`=(b-a)(c-a)*|{:(1,a,a^(3)),(0,1,b^(2)+ba+a^(2)),(0,1,c^(2)+ca+a^(2)):}|" "[R_(2)" से "(b-a)" तथा "R_(3)" से "(c-a) common लेने पर"]`
`=(b-a)(c-a)*1*|{:(1,b^(2)+ba+a^(2)),(1,c^(2)+ca+a^(2)):}|" "[C_(1)" के अनुदिश विस्तार करने पर"]`
`=(b-a)(c-a)*[(c^(2)+ca+a^(2))-(b^(2)+ba+a^(2))]`
`=(b-a)(c-a)[(c^(2)-b^(2))+a(c-b)]`
`=(b-a)(c-a)(c-b)(c+b+a)`
`=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)`