Question

साबित करे कि
(i) `|{:(a,a+b,a+b+c),(2a,3a+2b,4a+3b+2c),(3a,6a+3b,10a+6b+3c):}|=a^(3)`
(ii) `|{:(1,1+p,1+q+q),(2,3+2p,4+3p+2q),(3,6+3p,10+6p+3q):}|=1`

Answer 1

(i) `Delta=|{:(a,a+b,a+b+c),(2a,3a+2b,4a+3b+2c),(3a,6a+3b,10a+6b+3c):}|=|{:(a,a+b,a+b+c),(0,a,2a+b),(0,3a,7a+3b):}|" "[R_(2)toR_(2)-2R_(1),R_(3)toR_(3)-3R_(1)]`
`=a|{:(a,2a+b),(3a,7a+3b):}|" "[C_(1)" के अनुदिश विस्तार करने पर"]`
`=a[a(7a+3b)-3a(2a+b)]=a*a^(2)=a^(3)`
दूसरी विधि :
`Delta=|{:(a,a,a+b+c),(2a,3a,4a+3b+2c),(3a,6a,10a+6b+3c):}|+|{:(a,b,a+b+c),(2a,2b,4a+3b+2c),(3a,3b,10a+6b+3c):}|`
`=|{:(a,a,a+b+c),(2a,3a,4a+3b+2c),(3a,6a,10a+6b+3c):}|`
[दूसरे सारणिक में `C_(1)` तथा `C_(2)` से क्रमशः a तथा b को common लेने पर दूसरे सारणिक का मान 0 है ।]
`=|{:(a,a,a),(2a,3a,4a),(3a,6a,10a):}|+|{:(a,a,b),(2a,3a,3b),(3a,6a,6b):}|+|{:(a,a,c),(2a,3a,2c),(3a,6a,3c):}|`
`=|{:(a,a,a),(2a,3a,4a),(3a,6a,10a):}|" "` [चूँकि दूसरे और तीसरे सारणिक का मान शून्य है]
`=a^(3)|{:(1,1,1),(2,3,4),(3,6,10):}|=a^(3)|{:(1,0,0),(2,1,1),(3,3,4):}|" "[C_(3)toC_(3)-C_(2),C_(2)toC_(2)-C_(1)]`
`=a^(3)*1(1*4-1*3)=a^(3)" "[R_(1)" के अनुदिश विस्तार करने पर"]`
(ii) का हल : (i) में a=1,b=p,c=q रखने पर, `Delta=1^(3)=1`