Question

(a) दर्शाइये कि फलन `f(x) = sin(x^(2))` द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है ।
(b) दर्शाइये कि फलन `f(x) = |1 - x + |x||` द्वारा परिभाषित फलन f जहाँ x एक वास्तविक संख्या है, एक संतत फलन है ।
(c) दर्शाइये कि फलन `sin|x|` एक संतत फलन है ।

Answer 1

(a) माना `g(x) = x^(2)` और `h(x)=sin x` अब `(hog)(x)=h(g(x))=h(x^(2))=sin(x^(2))=f(x)`
`rArr" "hog = f`
चूँकि g(x) और h(x) दोनों संतत फलन हैं और f फलनों h और g का संयोजन है । अत: f एक संतत फलन है क्योकि दो संतत फलनों का संयोजन एक संतत फलन होता है ।
(b) माना `g(x)=1-x+|x|` और `h(x)=|x|`
चूँकि `g(x)=1-x+|x|` दो संतत फलनों क्रमश: बहुपद फलन और मापांक फलन का योगफल है इसलिए g(x) एक संतत फलन है । साथ ही h(x) एक संतत फलन है ।
अब `(hog)(x)=h(g(x))=h(1-x+|x|)`
`= |1-x+|x||`
`rArr" "(hog)(x)=f(x)`
`rArr" "hog=f`
अत: f दो संतत फलनों का संयुक्त फलन है इसलिए f भी एक संतत फलन है ।
(c) माना `f(x)=|x|` और `g(x)=sin x` तब f और g संतत फलन हैं ।
`therefore" "(gof)(x)=g(f(x))=g(|x|)=sin|x|`
चूँकि f और g संतत हैं इसलिए gof भी संतत है । अत: `sin|x|` एक संतत फलन है ।