Question

If x² – 4x + 1 = 0, what is the value of x⁹ + x⁷ – 194x⁵ – 194x³ + 14 ?
1. -14
2. 14
3. 0
4. 10
5. 12

Answer 1

Correct Answer - Option 4 : 10

Given:

x2 – 4x + 1 = 0

Concept used:

(a + b)² = a² + b² + 2ab 

(a² – b²) = (a + b) (a – b)

Calculations:

x9 + x7 – 194x5 – 194x³ + 14

= x³(x⁶ + x⁴ – 194x² – 194) + 14

= x³{x⁴ (x² + 1) – 194(x² + 1)} + 14

= x³{(x⁴ – 194) (x² + 1)} + 14

= 4x⁴(x⁴ – 194) + 14 [since x2 + 1 = 4x]

Again,

x² – 4x + 1 = 0

⇒ x² – 4x + 4 = 3

⇒ (x – 2)² = (√3)²

⇒ x – 2 = √3

⇒ x = 2 + √3

⇒ x² = (2 + √3)² 

⇒ x² = 4 + 3 + 4√3

⇒ x² = 7 + 4√3

⇒ x⁴ = (7 + 4√3)² 

⇒ x⁴ = 49 + 48 + 56√3

⇒ x⁴ = 97 + 56√3

Thus 4x4(x4 – 194) + 14 = 4(97 + 56√3)(97 + 56√3 – 194) + 14

⇒ 4(97 + 56√3)(-97 + 56√3) + 14

⇒ -4(97 + 56√3)(97 – 56√3) + 14

⇒ -4(97² – (56√3)²) + 14

⇒ -4(9409 – 9408) + 14 = -4 + 14 = 10

∴ The value of (x9 + x7 – 194x5 – 194x3 + 14) is 10.