Question

If cos x + cos y = \(\rm \frac{1}{\sqrt{2}}\)  and sin x - sin y = \(\rm \frac{\sqrt{3}}{2}\)  , then  tan \(\rm \left ( \frac{x - y}{2} \right )\) is ? 
1. \(\sqrt{\frac{3}{2}}\)
2. \(\rm \frac{1}{\sqrt{2}}\)
3. \(\rm \frac{\sqrt{3}}{2}\)
4. \(\frac{3}{2\sqrt{2}}\)

Answer 1

Correct Answer - Option 1 : \(\sqrt{\frac{3}{2}}\)

Concept: 

• sin A - sin B = \(\rm 2cos\left ( \frac{A+B}{2} \right )\sin \left ( \frac{A-B}{2} \right )\)  
• cos A + cos B = \(\rm 2cos\left ( \frac{A+B}{2} \right )\cos \left ( \frac{A-B}{2} \right )\) 

Calculation: 

Given,

cos x + cos y = \(\rm \frac{1}{\sqrt{2}}\)   and  sin x - sin y = \(\rm \frac{\sqrt{3}}{2}\)  

We know that , 

sin A - sin B = \(\rm 2cos\left ( \frac{A+B}{2} \right )\sin \left ( \frac{A-B}{2} \right )\)  

cos A + cos B = \(\rm 2cos\left ( \frac{A+B}{2} \right )\cos \left ( \frac{A-B}{2} \right )\)  

∴ cos x + cos y = \(\rm \frac{1}{\sqrt{2}}\) ⇒  \(\rm 2cos\left ( \frac{x+y}{2} \right )\cos \left ( \frac{x-y}{2} \right )\)= \(\rm \frac{1}{\sqrt{2}}\)     .... (i)

and  sin x - sin y = \(\rm \frac{\sqrt{3}}{2}\) ⇒ \(\rm 2cos\left ( \frac{x+y}{2} \right )\sin \left ( \frac{x-y}{2} \right )\) = \(\rm \frac{\sqrt{3}}{2}\)  .... (ii) 

Dividing (ii) by (i) , we get

tan \(\rm \left ( \frac{x - y}{2} \right )\) = \(\sqrt{\frac{3}{2}}\)  .

The correct option is 1.