Question

Find the value of 

(1/(sin³ θ) + 1/(cos³ θ))/(1/sinθ + 1/cosθ) +  (1/(sin³ θ) - 1/(cos³ θ))/(1/sinθ - 1/cosθ) 

1. 8cosec²2θ
2. 4cosec22θ
3. 8sin22θ
4. 4sin22θ

Answer 1

Correct Answer - Option 1 : 8cosec²2θ

(1/(sin³ θ) + 1/(cos³ θ))/(1/sinθ + 1/cosθ) + (1/(sin³ θ) - 1/(cos³ θ))/(1/sinθ - 1/cosθ)

⇒ (cosec³ θ + sec³ θ)/(cosecθ + cosecθ) + (cosec³ θ - sec³ θ)/(cosecθ - cosecθ)

⇒ (cosec³ θ+ sec³ θ)/(cosecθ + cosecθ) + (cosec³ θ - sec³ θ)/(cosecθ - cosecθ)

⇒ (cosecθ + secθ (cosec² θ - cosecθ secθ + cosec² θ ))/(cosecθ + secθ) + (cosecθ - secθ (cosec² θ + cosecθ secθ + cosec² θ ))/(cosecθ - secθ)

⇒  cosec² θ – cosec θ sec θ + sec² θ + sec² θ + secθ cosec θ + cosec² θ

⇒ 2(cosec² θ + sec² θ)

⇒ 2 (1/(sin² θ) + 1/(cos² θ))

⇒ 2 ((sin² θ + cos² θ)/(sin² θ cos² θ))

⇒ 2 ((1 )/(sin² θ cos² θ))

⇒ 2 ((4)/(4 sin²θ cos²θ))      [Multiply 4 in numerator and denominator]

⇒ 8/(2sinθcosθ)²

⇒ 8/(sin²2θ)                          [ sin2θ = 2sinθcosθ ]

⇒ 8cosec² 2θ