Question

निम्न फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए

(a) x³e^-x

(b) x³ sinx

Answer 1

(a) ∫x³e^-x

= – x³e^-x + 3∫x²e^-x dx ….(i)

∫x² e^-x dx

= – x²e^-x + ∫2xe^-x dx

= – x²e^-x + 2∫xe^-x dx ……(ii)

∫x e^-x dx

= – xe^-x + ∫e^-x dx

= – xe^-x – e^-x + C …..(iii)

समी. (i), (ii) व (iii) को हल करने पर

∫x³e^-x dx = – x³e^-x + 3[- x²e^-x + 2 ∫xe^-x dx]

= -x³e^-x + 3(-x²e^-x + 2(-xe^-x – e^-x + C1))

= -x³e^-x – 3x²e^-x + 6(-xe^-x – e^-x + C1)

= -x³e^-x – 3x²e^-x – 6xe^-x – 6e^-x + 6C1

= -x³e^-x – 3x²e^-x – 6xe^-x – 6e^-x + C

= -e [x³ + 3x² + 6x + 6] + C

(b) ∫x³ sinx

= -x³ cos x + 3x² sin x – 6(-x cos x + ∫cos x dx)

= -x³ cosx + 3x² sin x + 6x cos x – 6 sin x + C