सिद्ध करें कि |{1+a^2-b^2, 2ab, -2b}, {2ab, 1 - a^2 + b^2, 2a}, {2b, -2a, 1 - a^2 - b^2}| = (1 + a^2 + b^2)^3

Question

सिद्ध करें कि \(\begin{vmatrix}1 +a^2 - b^2 & 2ab& -2b\\2ab&1-a^2 + b^2 & 2a\\2b&-2a&1 -a^2 - b^2 \end{vmatrix} = (1 + a^2 + b^2)^3\).

Answer 1

माना कि \(|A|=\begin{vmatrix}1 +a^2 - b^2 & 2ab& -2b\\2ab&1-a^2 + b^2 & 2a\\2b&-2a&1 -a^2 - b^2 \end{vmatrix} \)

R₁ → R₁ + bR₃ करने पर,

\(|A|=\begin{vmatrix}1 +a^2 + b^2 & 0& -b-ba^2 -b^3\\2ab&1-a^2 + b^2 & 2a\\2b&-2a&1 -a^2 - b^2 \end{vmatrix} \)

R₁ से 1 + a² + b² बाहर लेने पर

\(|A|=(1 +a^2 + b^2)\begin{vmatrix}1 & 0& -b\\2ab&1-a^2 + b^2 & 2a\\2b&-2a&1 -a^2 - b^2 \end{vmatrix} \)

R₂ → R₂ - aR₃ करने पर,

\(|A|=(1 +a^2 + b^2)\begin{vmatrix}1 & 0& -b\\0&1+a^2 + b^2 & a+b^3 + ab^2\\2b&-2a&1 -a^2 - b^2 \end{vmatrix} \)

R₂ से 1 + a² + b² बाहर लेने पर

\(|A|=(1 +a^2 + b^2)^2\begin{vmatrix}1 & 0& -b\\0&1 & a\\2b&-2a&1 -a^2 - b^2 \end{vmatrix} \)

R₃ → R₃ - 2bR₁ करने पर

\(|A|=(1 +a^2 + b^2)^2\begin{vmatrix}1 & 0& -b\\0&1 & a\\0&-2a&1 -a^2 - b^2 \end{vmatrix} \)

C को विस्तारित करने पर, हम पाते हैं

|A| = (1 + a² + b²)²[1(1 - a² + b² + 2a²)] 

= (1 + a² + b²)³ = दायाँ पक्ष

अत: सिद्ध हुआ।