दिया है: माना कि \(\triangle \mathrm{ABC}\) एक समकोण त्रिभुज है जिसमें \(\angle \mathrm{ABC}=\) \(90^{\circ}\) है।
सिद्ध करना है : \(\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}\)
रचना : B बिन्दु से AC पर BD लम्ब डाला।
प्रमाण : \(\triangle \mathrm{ADB}=\triangle \mathrm{ABC}\) में,
\(\angle \mathrm{BAD}\) और \(\angle \mathrm{BAC}\)
\(\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ}\)
\(\therefore\triangle \mathrm{ADB} \sim \triangle \mathrm{ABC}(\mathrm{AA},\) समरूपता से)
\(\therefore \quad \frac{A B}{A C}=\frac{A D}{A B}\)
\(\Rightarrow \quad \mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AC} \cdot \mathrm{AD} \ldots (i)\)
इसी प्रकार \(\triangle B D C\) और \(\triangle A B C\) में,
\(\angle \mathrm{BCD}=\angle \mathrm{BCA}\) (उभयनिष्ठ कोण)
\(\angle \mathrm{BDC}=\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ}\)
\(\therefore \triangle \mathrm{BDC} \sim \triangle \mathrm{ABC}\)
\(\begin{equation*}
\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{DC}}{\mathrm{BC}} \Rightarrow \mathrm{BC}^{2}=\mathrm{AC} \cdot \mathrm{DC} \tag{ii}
\end{equation*}\)
अब समीकरण (i) एवं (ii) के संगत पक्षों को जोड़ने पर हम पाते हैं कि
\(\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{AC} \cdot \mathrm{AD}+\mathrm{AC} \cdot \mathrm{DC}\)
\(=\mathrm{AC}(\mathrm{AD}+\mathrm{DC})=\mathrm{AC} \times \mathrm{AC}=\mathrm{AC}^{2}\)
\(\therefore \mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{AC}^{2};\) यही सिद्ध करना था।
इस तरह पाइथागोरस का प्रमेय सिद्ध हो जाता है।
