Question

If C₀, C₁, C₂,… C_n are coefficients of expansion (1 + x)ⁿ then prove that:
C₀ + 3.C₁ + 5.C₂ + … + (2n + 1). C_n = (n + 1)2ⁿ.

Answer 1

L.H.S.

= ⁿC₀ + 3.C₁ + 5.C₂ + … + (2n + 1) ⁿC_n

= ⁿC₀ + (2 + 1) ⁿC₁ + (4 + 1) ⁿC₂ + … (2n + 1) ⁿC_n

= ⁿC₀ + (2. ⁿC₁ + ⁿC₁ + (4. ⁿC₂ + ⁿC₂) + …  (2n.ⁿC_n + ⁿC_n)

= 2. ⁿC₁ + 4 ⁿC₂ + 6 ⁿC₃ + … + 2n ⁿC_n
+ (ⁿC₀ + ⁿC₁ + ⁿC₂ + ⁿC₃ + …ⁿC_n)

= 2[ⁿC₁ + 2 ⁿC₂ + 3.ⁿC₃ +… + ⁿC_n] + (1 + 1)ⁿ