Question

Find value of k, for which following quadratic equations have real and equal roots.

(i) kx(x – 2) + 6 = 0

(ii) x² – 2(k + 1)x + k² = 0

(iii) 2x² + kx + 3 = 0

(iv) (k + 1)x² – 2(k – 1) x + 1 = 0

(v) (k + 4)x² + (k + 1) x + 1 = 0

(vi) kx² – 5x + k = 0

Answer 1

(i) Given equation kx(x – 2) + 6 = 0

or kx² – 2kx + 6 = 0

Comparing it with ax² + bx + c = 0

a = k, b = -2k and c = 6

Discriminant D = b² – 4ac

= (-2k)² – 4 × k × 6

= 4k² – 24k

= 4k(k – 6)

For equal roots D = 0

4k(k – 6) = 0

⇒ k = 0 or k – 6 = 0

⇒ k = 0 or k = 6

For equal roots k = 6 because k = 0 is not possible

(ii) Given equation

x² – 2(k + 1)x + k² = o

Comparing it with ax² + bc + c = 0

a = 1, b = -2(k + 1) and c = k²

Discriminant D = b² – 4ac

= {-2(k + 1)}² – 4 × 1 × k²

= 4(k² + 2k + 1) – 4k²

= 4k² + 8k + 4 – 4k²

= 8k + 4

For equal roots D = 0

⇒ 8k + 4 = 0

⇒ 8k = -4

⇒ k = -1/2

Thus k = -1/2

(iii) Given equation

2x² + kr + 3 = 0

Comparing with ax² + bx + c = 0

a = 2, b = k and c = 3

Discriminant D = b² – 4ac

= k² – 4 × 2 × 3

= k² – 24

for equal roots D = 0

⇒ k² – 24 = 0

⇒ k² = 24

⇒ k = ±√24 = ±2√6

for equal roots k = ± 2√6

(iv) Given equation 

(k + 1)x² – 2(k – 1)x + 1 = 0

Comparing it by ax² + bx + c = 0

a = (k + 1), b = -2(k – 1) and c = 1

Discriminant, D = b² – 4ac

= {-2 {k – 1)}² – 4 × (k + 1) × 1

= 4{k² + 1 – 2k) – 4 (k + 1)

= 4k² + 4 – 8k – 4k – 4

= 4k² – 12k

= 4k(k – 3)

for equal roots, D = 0

⇒ 4k(k – 3) = 0

⇒ k(k – 3) =0

⇒ k = 0 or k = 3

for equal roots k = 3, since k = 0

(v) Given equation is 

(k + 4)x² + (k + 1)x + 1 = 0

Comparing it with ax² + bx + c = 0

a = k + 4, b = k + 1, c = 1

Discriminant (D) = b² – 4ac

= (k + 1 )² – 4 × (k + 4) × 1

= k² + 2k + 1 – 4k – 16

= k² – 2k – 15

= k² – 5k + 3k – 15

= k(k – 5) + 3(k – 5)

= (k – 5) (k + 3)

For equal roots, D = 0

⇒ (k – 5)(k + 3) = 0

⇒ k – 5 = 0 or k + 3 = 0

⇒ k = 5 or k = -3

(vi) Given equation kx² – 5x + k = 0

Comparing it with ax² + bx + c = 0

a = k, b = -5. c = k

Discriminant, (D) = b² – 4ac

= (-5)² – 4 × k × k

= 25 – 4k²

For equal roots D = 0