Question

Find the least value of the positive integer n for which (√3 + i)ⁿ

(i) real 

(ii) purely imaginary

Answer 1

(√3 + i)ⁿ 

(√3 + i)² 

= 3 – 1 + 2√3 i 

= (2 + 2 √3 i) 

(√3 + i)³ = (√3 + i)² (√3 + i) 

= (2 + 2√3 i) (√3 + i) 

= 2√3 + 2i + 6i – 2√3 

(√3 + i) = 8i ⇒ purely Imaginary when n = 3 

(√3 + i)⁴ = (√3 + i)³ (√3 + i) 

= 8i (√3 + i) 

= (-8 + 8√3 i) 

(√3 + i)⁵ = (√3 + i)⁴ (√3 + i)

= (-8 + 8√3 i) (√3 + i) 

= -8√3 – 8i + 24i – 8√3 

= -16√3 + 16i 

(√3 + i)⁶ = (√3 + i)⁵ (√3 + i) 

= (√3 + i) (-16√3 + 16i) 

= 16 (√3 + i) (-√3 + i) 

= 16 (-3 + i√3 – i√3 – 1) 

= -64 purely real when n = 6 

Another Method: