Question

सारणियों के गुणों का प्रयोग कर साबित करे कि
`|{:(a,b,c),(a-b,b-c,c-a),(b+c,c+a,a+b):}|=a^(3)+b^(3)+c^(3)-3abc`

Answer 1

`|{:(a,b,c),(a-b,b-c,c-a),(b+c,c+a,a+b):}|=|{:(a+b+c,b,c),(0,b-c,c-a),(2(a+b+c),c+a,a+b):}|" "[C_(1)toC_(1)+C_(2)+C_(3)]`
`=(a+b+c)|{:(1,b,c),(0,b-c,c-a),(2,c+a,a+b):}|" "` [पहले column से (a+b+c) common लेने पर]
`=(a+b+c)|{:(1,b,c),(0,b-c,c-a),(0,c+a-2b,a+b-2c):}|" "[R_(3)toR_(3)-2R_(1)]`
`=(a+b+c)*1*|{:(b-c,c-a),(c+a-2b,a+b-2c):}|`
`=(a+b+c)|{:(b-c,c-a),(a-c,b-a):}|" "[R_(2)toR_(2)+2R_(1)]`
`=(a+b+c)[(b-c)(b-a)+(a-c)^(2)]`
`=(a+b+c)[(b^(2)-bc-ab+ac)+(a^(2)+c^(2)-2ac)]`
`=(a+b+c)(a^(2)+b^(2)+c^(2)-ab-bc-ca)`
`=a^(3)+b^(3)+c^(3)abc=R.H.S.`