स्वतुल्यता: प्रत्येक `a in Z`, के लिए,
`a-a = 0, 3` से विभाज्य है।
`rArr (a,a) in R`
`:.` R, Z में स्वतुल्य है।
सममितता: माना `a, b in Z` ऐसा है कि `(a,b) in R`, तब
`(a,b) in R`
`rArr a- b, 3` से विभाज्य है।
`rArr -(a-b), 3` से विभाज्य है।
`rArr b-a, 3` से विभाज्य है।
`rArr (b,a) in R`
`:.` R, Z में सममित है।
संक्रामकता: माना `a, b, c in Z` ऐसा है कि `(a,b) in R` और `(b,c) in R`, तब
`(a,b) in R` और `(b,c) in R`
`rArr (a-b), 3` से विभाज्य है और `(b-c), 3` से विभाज्य है।
`rArr a-b = 3p` और `b-c = 3q` जहाँ p और q पूर्णांक है।
`rArr (a-b) + (b-c) = 3([ +q)`
`rArr a-c = 3(p + q)`
`rArr a -c, 3` से विभाज्य है।
`rArr (a,c) in R`
`:.` R, Z में संक्रामक है।
अत: R,Z में एक तुल्यता संबंध है।
द्वितीय भाग: अब हम यहाँ तुल्यता वर्गो `[0], [1], [2]` पर विचार करते है।
`[0] = {a in Z : (a,0) in R}`,
= {`a in Z : (a -0), 3` से विभाज्य है}
`= {....-6, -3, 0, 3, 6, 9,...}`
`:. [0] = {....-6, -3,0,3, 6, 9,...}`
ऐसी प्रकार,
`[1] = {a in Z : (a, 1) in R}`
= {`a in Z: (a -1), 3` से विभाज्य है}
`= {....-5, -2, 1, 4, 7, 10,...}`
`:. [1] = {....-5, -2, 1, 4, 7, 10,...}`
और `[2] = {a in Z : (a, 2) in R}`
= {`a in Z : (a -2), 3` से विभाज्य है}
`= {....-4, -1, 2, 5, 8, 11,...}`
`:. [2] = {....-4, -1, 2, 5, 8, 11,...}`
स्पष्टत: [0], [1] और [2] परस्पर असंयुक्त है और `Z = [0] uu[1] uu[2]`
