Question

Factorize the following expressions using a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²) identity

(i) y³ – 27

(ii) 3b³ – 192c³

(iii) -16y³ + 2x³

(iv) x³ y³ – 7³

(v) c³ – 27b³ a³

Answer 1

(i) y³ – 27 

= y³ – 3³

Comparing this with a³ – b³ , we have a = y and b = 3

a³ – b³ = (a + b) (a² + ab + b² )

y³ – 3³ = (y – 3)(y² + (y) (3) + 3² ) = (y – 3) (y² + 3y + 9)

y³ – 27 = (y – 3) (y² + 3y + 9)

(ii) 3b³ + 192c³ 

= (3 × b³) – (3 × 4 × 4 × 4 × c³) = 3(b³ – 4³ c³)

= 3(b³ – (4c)³ )

Comparing b³ – (4c)³ with a³ – b³ we have a = b and b = 4c

a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)

3(b³ – (4c)³) = 3[(b – 4c)(b² + (b)(4c) + (4c)²)]

= 3[(b – 4c)(b² + 4bc + 4² c²)]

3b³ – 192c³ = 3 [(b – 4c) (b² + 4bc + 16c²)]

(iii) -16y³ + 2x³ 

= 2x³ – 16y³ [∵ Addition is commatative]

= 2(x³ – 8y³) = 2(x³ – 23y³)

= 2(x³ – (2y)³)

Comparing x³ – (2y)³ with a³ – b³ we have a = x and b = 2y

a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

2[x³ – (2y)³] = 2[(x – 2y) (x² + (x) (2y) + (2y)²)]

= 2[(x – 2y) (x² + 2xy + 2² y²)]

-16y³ + 2x³ = 2[(x – 2y)(x² + 2xy + 4y²)]

(iv) x³y³ – 7³ 

= (xy)³ – 7³

Comparing with a³ – b³ we have a = xy and b = 7

a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

(xy)³ – 7³ = (xy – 7) ((xy)² + (xy) (7) + 7²)

x³y³ – 7³ = (xy – 7) (x²y² + 7xy + 49)

(v) c³ – 27 b³ a³ 

= c³ – 3³b³ a³ = c³ – (3ba)³

Comparing this with a³ – b³ we have a = x and b = 3ba

a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

∴ c³ – (3ba)³ = (c – 3ba) (c² + (c) (3ba) + (3ba)²)

= (c – 3ba) (c² + 3bac + 3² b²a²)

c³ – 27b³a³ = (c – 3ab) (c² + 3bac + 9a²b²)