Question

If a = (√5 + 2)^1/3. Find the value of (a + 1/a)³ - 3(a + 1/a).

1. √5
2. - 2√5
3. 2√5
4. 3√5

Answer 1

Correct Answer - Option 3 : 2√5

Given:

a = (√5 + 2)1/3

Formula used:

(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)

a² - b² = (a + b)(a - b)

Calculation:

a = (√5 + 2)1/3

Taking cube on both sides we get,

a³ = √5 + 2

Now, (a + 1/a)3 - 3(a + 1/a) = a³ + (1/a)³ + 3 × a × (1/a) × (a + 1/a) - 3(a + 1/a)

⇒ a3 + (1/a)3 + 3(a + 1/a) - 3(a + 1/a)

⇒ a3 + (1/a)3 

⇒ √5 + 2 + [1/(√5 + 2)]

⇒ √5 + 2 + [{1/(√5 + 2)}{(√5 - 2)/(√5 - 2)]  

⇒ √5 + 2 + [(√5 - 2)/(√5)² - 2²)]

⇒ √5 + 2 + [(√5 - 2)/(5 - 4)]

⇒ √5 + 2 + [(√5 - 2)/1]

⇒ √5 + 2 + √5 - 2

⇒ 2√5 

∴ The value of (a + 1/a)3 - 3(a + 1/a) is 2√5